この問題が解ければ、1億円?「ミレニアム懸賞問題」|ブログインデックス

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「ミレニアム懸賞問題」とは、2000年5月24日にアメリカ合衆国のクレイ数学研究所によって発表された、100万ドルの懸賞金がかけられている7つの数学上の未解決問題のことである。この問題を解決することができれば、数学界のノーベル賞とも呼ばれる、「フィールズ賞」が授与される可能性が高いとも言われており、現在、7つの問題の内、6つの問題は未解決のままとなっている。

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「ミレニアム懸賞問題」の詳細

1998年、ハーバード大学の数学者アーサー・ジェイフと実業家ランドン・T・クレイによって、アメリカ合衆国のマサチューセッツ州ケンブリッジに「クレイ数学研究所」という研究施設が建設された。この施設では、「数学の発展」を目的として非営利な活動を行っている。

2000年5月24日、このクレイ数学研究所は、数学界で非常に重要、かつ難解とされている7つの問題に対して、100万ドルもの懸賞金をかけることを発表した。この問題は、1900年8月8日にパリで開催された第2回国際数学者会議において、ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトによってまとめられた、未解決問題集「ヒルベルトの23の問題」を参考にして選ばれたものである。

懸賞金を手にするには、数学者による評価・検証が行われている専門雑誌に論文が掲載された後、2年間の期間を経て、数学界にその解決・証明が受け入れられることが条件とされている。また問題を解決した者には、数学界のノーベル賞とも呼ばれる、「フィールズ賞」が授与される可能性が高いとも言われている。

その7つの問題とは?

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「ミレニアム懸賞問題」に選ばれた7つの問題とは、下記の通りである。

1. ヤン=ミルズ方程式と質量ギャップ問題

これは1954年に物理学者の楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された、「ヤン=ミルズ理論」に関連する問題であり、「任意のコンパクトで単純なゲージ群 G に対して、 R4 上の自明ではないヤン=ミルズ場の量子論が存在し、質量ギャップが存在することを示すことができるか」という問題のことである。この問題が解決されれば、4次元空間における量子ゲージ理論の数学的な定義がされることになる。

2. リーマン予想

これは1859年にドイツ人の数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱された、「ζ(s) の自明ではない零点 s は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する」という、ゼータ関数の零点の分布についての予想のことである。この予想は、素数の出現規則を解き明かすことに繋がるものであり、現在の数学界において、最も難解な問題として挙げられることが多い。

3. P≠NP予想

これは1930年代にイギリス人の数学者アラン・チューリングが、コンピュータの数学的な理論を構築する際に生まれた、計算複雑性理論における「クラスPとクラスNPは、等しくはない」という予想のことである。現代の暗号化技術は、この予想が正しいという前提の元に成立している。

4. ナビエ・ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

これは現在の流体力学の重要な柱の一つとされている、ナビエ・ストークス方程式における、数学的な性質についての問題のことである。ナビエ・ストークス方程式は、科学や工学の分野において大きな重要性があるにも関わらず、その解の数学的な性質は未だ証明されてはいない。

5. ホッジ予想

これは1950年にスコットランド人の数学者ウィリアム・ホッジによって提起された、「複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるような、ド・ラームコホモロジー類である」という予想のことである。

この予想は、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連しており、「Hk, k(X) の中のどのコホモロジー類が、複素部分多様体 Z から来たのだろうか」という問いに言い換えられることが多い。

6. ポアンカレ予想(グリゴリー・ペレルマンによって解決済み)

これは1904年にフランス人の数学者アンリ・ポアンカレによって提起された、「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面 S3 に同相である」という、3次元球面の特徴づけを与える予想のことである。

この問題は、2002年から2003年に掛けて、ロシア人の数学者グリゴリー・ペレルマンによって証明されており、2010年3月18日には、クレイ数学研究所がペレルマンへのミレニアム賞の受賞を発表したが、彼はこの賞の受賞と懸賞金の受け取りを断っている。また彼は、この問題を解決したことにより、数学界のノーベル賞とも呼ばれる「フィールズ賞」を授与されているが、この賞の受賞も辞退している。

7. バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

これは1960年代に数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン=ダイアーによって提起された、「E の点の成すアーベル群 E(K) のランクは、 L(E, s) の s = 1 における零点の位数であり、s = 1 における、 L(E, s) のテイラー展開における最初の 0 ではない係数は、 K 上の E に付属している、より精密な数論的データによって与えられる」という予想のことである。現在、この予想はいくつかの特別な条件下においてのみ、証明されている。

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管理人から一言

小学3年生の算数ドリルから、勉強し直します…。

「ミレニアム懸賞問題」の詳細

1998年、ハーバード大学の数学者アーサー・ジェイフと実業家ランドン・T・クレイによって、アメリカ合衆国のマサチューセッツ州ケンブリッジに「クレイ数学研究所」という研究施設が建設された。この施設では、「数学の発展」を目的として非営利な活動を行っている。

2000年5月24日、このクレイ数学研究所は、数学界で非常に重要、かつ難解とされている7つの問題に対して、100万ドルもの懸賞金をかけることを発表した。この問題は、1900年8月8日にパリで開催された第2回国際数学者会議において、ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトによってまとめられた、未解決問題集「ヒルベルトの23の問題」を参考にして選ばれたものである。

懸賞金を手にするには、数学者による評価・検証が行われている専門雑誌に論文が掲載された後、2年間の期間を経て、数学界にその解決・証明が受け入れられることが条件とされている。また問題を解決した者には、数学界のノーベル賞とも呼ばれる、「フィールズ賞」が授与される可能性が高いとも言われている。

その7つの問題とは?

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「ミレニアム懸賞問題」に選ばれた7つの問題とは、下記の通りである。

1. ヤン=ミルズ方程式と質量ギャップ問題

これは1954年に物理学者の楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された、「ヤン=ミルズ理論」に関連する問題であり、「任意のコンパクトで単純なゲージ群 G に対して、 R4 上の自明ではないヤン=ミルズ場の量子論が存在し、質量ギャップが存在することを示すことができるか」という問題のことである。この問題が解決されれば、4次元空間における量子ゲージ理論の数学的な定義がされることになる。

2. リーマン予想

これは1859年にドイツ人の数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱された、「ζ(s) の自明ではない零点 s は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する」という、ゼータ関数の零点の分布についての予想のことである。この予想は、素数の出現規則を解き明かすことに繋がるものであり、現在の数学界において、最も難解な問題として挙げられることが多い。

3. P≠NP予想

これは1930年代にイギリス人の数学者アラン・チューリングが、コンピュータの数学的な理論を構築する際に生まれた、計算複雑性理論における「クラスPとクラスNPは、等しくはない」という予想のことである。現代の暗号化技術は、この予想が正しいという前提の元に成立している。

4. ナビエ・ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

これは現在の流体力学の重要な柱の一つとされている、ナビエ・ストークス方程式における、数学的な性質についての問題のことである。ナビエ・ストークス方程式は、科学や工学の分野において大きな重要性があるにも関わらず、その解の数学的な性質は未だ証明されてはいない。

5. ホッジ予想

これは1950年にスコットランド人の数学者ウィリアム・ホッジによって提起された、「複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるような、ド・ラームコホモロジー類である」という予想のことである。

この予想は、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連しており、「Hk, k(X) の中のどのコホモロジー類が、複素部分多様体 Z から来たのだろうか」という問いに言い換えられることが多い。

6. ポアンカレ予想(グリゴリー・ペレルマンによって解決済み)

これは1904年にフランス人の数学者アンリ・ポアンカレによって提起された、「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面 S3 に同相である」という、3次元球面の特徴づけを与える予想のことである。

この問題は、2002年から2003年に掛けて、ロシア人の数学者グリゴリー・ペレルマンによって証明されており、2010年3月18日には、クレイ数学研究所がペレルマンへのミレニアム賞の受賞を発表したが、彼はこの賞の受賞と懸賞金の受け取りを断っている。また彼は、この問題を解決したことにより、数学界のノーベル賞とも呼ばれる「フィールズ賞」を授与されているが、この賞の受賞も辞退している。

7. バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

これは1960年代に数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン=ダイアーによって提起された、「E の点の成すアーベル群 E(K) のランクは、 L(E, s) の s = 1 における零点の位数であり、s = 1 における、 L(E, s) のテイラー展開における最初の 0 ではない係数は、 K 上の E に付属している、より精密な数論的データによって与えられる」という予想のことである。現在、この予想はいくつかの特別な条件下においてのみ、証明されている。

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